MODUL KULIAH
Mata Kuliah Statistika Probabilitas
Dosen Safitri Jaya
Modul 4 (empat)
Topik Pencacahan Titik Contoh
Sub Topik Pendahuluan
Materi 1. Pendahuluan
2. Kaidah Pencacahan
3. Bilangan Faktorial
4. Permutasi
Tujuan 1. Memahami dan menjelaskan kaidah pencacahan
2. Memahami dan menjelaskan bilangan factorial
3. Memahami dan menjelaskan pengertian permutasi dan perhitungannya
PENCACAHAN TITIK CONTOH
1. Pendahuluan
Aturan probabilitas yang telah diuraikan sebelumnya meliputi penghitungan probabilitas peristiwa (hasil percobaan) yang sukses dari peristiwa yang mungkin terjadi secara keseluruhan. Percobaan yang dilakukan secara berulang dan frekuensi percobaan yang dilakukan tinggi menyebabkan formula probabilitas yang telah dibahas pada bagian sebelumnya sulit untuk digunakan. Misalnya, kita melakukan percobaan dengan melempar koin sebanyak 10 kali, bagaimana kita dapat menentukan banyaknya kemungkinan hasil percobaan tersebut (muncul sisi gambar atau sisi angka)? Tentunya sulit bagi kita untuk menentukannya menggunakan formulasi yang telah kita bahas pada bagian sebelumnya. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan kaidah penggandaan, konsep faktorial, permutasi dan kombinasi untuk menentukan probabilitas suatu peristiwa.
Hal penting yang harus dipecahkan dalam kaidah pencacahan (counting rule) titik contoh adalah pengaruh faktor kebetulan yang berkaitan dengan kejadian-kejadian tertentu bila suatu percobaan dilakukan. Problem ini disebut probabilitas. Penyelesaian probabilitas yang sangat rumit dapat dilakukan dengan menghitung kemungkinan-kemungkinan yang akan terjadi dalam ruang contoh atau ruang sampel. Dalam kaitannya dengan teori probabilitas, mencacah titik contoh objek atau unsur dalam ruang sampel merupakan hal yang sangat penting.
Misalkan keluarga Yanto berlibur ke Jakarta dan berencana mengunjungi 4 tempat wisata yang berbeda selama 4 hari. Keempat tempat wisata tersebut adalah Taman Impian Jaya Ancol, Taman Mini Indonesia Indah, Kebun Binatang Ragunan dan Monas. Berapa banyak jadwal kunjungan keluarga Yanto untuk dapat memilih satu dari empat tempat wisata, hari kedua dapat memilih satu diantara tiga tempat wisata, hari ketiga dapat memilih satu diantara dua tempat wisata, dan hari terakhir hanya dapat mengunjungi satu tempat wisata. Jadi, secara keseluruhan kita dapat menyusun jadwal kunjungan ke tempat wisata sebanyak 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara. Sekarang, misalkan rencana kunjungan ke tempat wisata bertambah dua yaitu Museum Sejarah dan Taman Bunga Mekarsari. Bila jadwal kunjungan pun berubah, yaitu dalam satu hari mengunjungi dua tempat wisata, bagaimana urutan penyusunan kunjungan keenam tempat wisata itu ? dengan perubahan rencana ini, penyusunan jadwal kunjungan mereka sekarang menjadi 15 cara. Bagaimana menghitungnya? Mencacah titik dalam ruang contoh, selain dilakukan dengan mendaftarkan terlebih dahulu objek – objeknya, juga dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah penggandaan, faktorial, permutasi dan kombinasi.
2. Kaidah Pencacahan
Bila ada n1 cara untuk mengerjakan suatu hal dan ada n2 cara untuk mengerjakan hal lain, akan terdapat n1 x n2 cara untuk mengerjakan kedua hal tersebut bersama-sama. Jika ada n1 cara untuk melakukan pekerjaan pertama dan ada n2 cara untuk melakukan pekerjaan kedua serta ada n3 cara untuk melakukan pekerjaan ketiga, terdapat n1 x n2 x n3 cara untuk melakukan ketiga pekerjaan tersebut bersama-sama. Pernyataan ini dapat diperluas lagi untuk empat kejadian atau lebih. Misalnya, jika ada n1 cara untuk melakukan pekerjaan pertama, n2 cara untuk melakukan pekerjaan kedua dan seterusnya, dan akhirnya ada nk cara untuk melakukan pekerjaan ke k, ada n1, n2, … nk cara untuk melakukan pekerjaan pertama hingga pekerjaan ke k bersama-sama.
Contoh :
1. Seorang karyawan swasta memiliki 5 baju lengan panjang (b1, b2, b3, b3, b4, b5) berbagai merk dan 4 celana panjang (c1, c2, c3, c4). Berapa banyak kombinasi pasangan pakaian yang dapat dipakai ke kantor
Jawab
Tabel 2.1 kombinasi pasangan pakaian di kantor
Baju Celana
c1 c2 c3 c4
b1 (b1, c1) (b1, c2) (b1, c3) (b1, c4)
b2 (b2, c1) (b2, c2) (b2, c3) (b2, c4)
b3 (b3, c1) (b3, c2) (b3, c3) (b3, c4)
b4 (b4, c1) (b4, c2) (b4, c3) (b4, c4)
b5 (b5, c1) (b5, c2) (b5, c3) (b5, c4)
Jumlah baju n1 = 5 dan jumlah celana n2 = 4.
Jadi, banyaknya alternative pemilihan pakaian yang dapat dipakai ke kantor adalah n = n1 x n2 = 5 x 4 = 20 pasang pakaian
2. Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyak titik contoh dalam ruang contohnya?
Jawab
Dadu pertama mendarat dalam n1 cara = 6. Dadu kedua pun mendarat dalam n2 cara = 6. Dengan demikian, sepasang dadu dapat mendarat dalam
n = n1 x n2 = 6 x 6 = 36 cara pendaratan
3. Berapa banyak bilangan ganjil yang terdiri atas tiga angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 5,6,7,8 dan 9 bila setiap angka hanya dapat digunakan sekali?
Jawab
Karena bilangannya harus ganjil, kita hanya mempunyai 3 pilihan posisi satuan (n1=3). Untuk setiap pilihan tersedia n2 = 4 posisi puluhan dan n3 = 3 posisi ratusan.
Jadi, n = n1 x n2 x n3 = 3 x 4 x 3 = 36 cara
4. Pengembang real estate menawarkan kepada konsumen 3 tipe rumah (tipe anggrek, dahlia dan tulip), 2 macam bentuk garasi dan 3 macam sistem pemanasan. Berapa macam rancangan rumah yang tersedia bagi konsumen?
Jawab
Tipe rumah n1 = 3, bentuk garasi n2 = 2 sistem pemanasan n3 = 3.
Jadi banyaknya macam rancangan rumah adalah n = n1 x n2 x n3 = 3 x 2 x 3 = 18 rancangan rumah
3. Bilangan Faktorial
Bilangan n bilangan bulat positif, bilangan factorial ditulis dengan n! dan didefinisikan sebagai
Rumus 2.1
n! = n(n – 1) (n – 2) … 3, 2, 1
Contoh
1. 3! = 3.(3 - 1).(3 - 2) = 3.2.1 = 6
2. 5! = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 – 3).(5 – 4) = 5.4.3.2.1 = 20
3. Pembagian bilangan faktorial dengan bilangan faktorial dilakukan dengan cara menyederhanakan pembilang dan penyebutnya
a. 7! / 5! = 7.6.5.4.3.2.1 / 5.4.3.2.1 = 7.6 = 42
b. 17! / 15! = 17.16.15! / 15! = 17.16 = 272
Terlihat bahwa semakin besar bilangan n, semakin cepat bilangan faktorial n! membesar.
4. Permutasi
Suatu permutasi ialah suatu susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya. Banyak permutasi n benda yang berlainan adalah n!. Lihatlah himpunan {a, b, c} yang mempunyai tiga anggota yaitu a, b dan c. karena banyaknya anggota himpunan tersebut n = 3, kita dapat mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan tersebut. Katakanlah kita ambil seluruhnya (r = 3), kita ambil dua (r = 2), kita ambil satu (r = 1) atau tidak diambil (r = 0). Dari susunan atau rangkaian dengan member arti pada urutan letak anggota pada susunan tersebut, kita memperoleh jenis-jenis susunan yang ditentukan oleh urutan letak anggota himpunan tersebut pada setiap susunan.
Bila diambil 1 anggota r = 1, tentu susunan itu ada tiga, yaitu a, b, c. Bila diambil 2 anggota r = 2, kita memperoleh susunan yang terdiri dari dua anggota yaitu ab, ac, bc, ba, ca, cb, kita memperoleh sebanyak 6 susunan.
Jenis susunan ab berbeda dengan jenis susunan ba, ab ≠ ba, sebab letak a pada susunan pertama berbeda artinya dengan letak a pada susunan kedua, yaitu a terletak pada urutan pertama dari susunan ab dan a terletak pada urutan kedua dari susunan ba. Begitu juga ac yang berbeda dengan susunan ca dan susunan bc yang berbeda dengan susunan cb. Dengan demikian, keenam susunan itu berbeda satu sama lain.
Bila diambil 3 anggota, r = 3, kita memperoleh susunan yang terdiri atas 3 anggota, yaitu : abc, bac, cab, acb, bca, cba. Kita memperoleh sebanyak 6 susunan. Jenis susunan abc berbeda dengan jenis susunan acb sebab pada susunan pertama, b terletak diurutan kedua dan c terletak diurutan ketiga, sedangkan pada susunan kedua c terletak diurutan kedua dan b terletak diurutan ketiga,sementara a terletak diurutan pertama pada susunan tersebut. Demikian juga, susunan bac berbeda dengan susunan bca, susunan cab berbeda dengan susunan cba, sehingga pada akhirnya 6 susunan itu berbeda semuanya. Kesimpulannya, bila kita mempunyai suatu himpunan yang terdiri atas beberapa anggota, kemudian kita ambil anggota-anggotanya sebagian atau seluruhnya, kita dapat membuat sejumlah susunan dengan member arti pada urutan letak anggota pada susunan-susunan tersebut, dan banyaknya susunan yang diperoleh ditentukan oleh banyaknya anggota himpunan itu sendiri dan berapa banyak anggotanya diambil.
Dengan cara tersebut kita memperoleh definisi permutasi (P), yaitu susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan member arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan. Misalnya, kita ingin mengetahui berapa banyak kemungkinan susunan yang dapat dibentuk bila 4 orang duduk mengelilingi meja. Atau berapa banyak susunan yang mungkin jika kita mengambil 2 kelereng dari 5 kelereng. Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja r ≤ n sehingga banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan permutasi tersebut adalah
Rumus 2.2
nPr = n! / (n-r)!
cara lain yang dipakai untuk menuliskan nPr adalah P(n,r).
Contoh :
1. Bila n = 4 dan r = 2, maka
4P2 = P(4,2) = 4! / (4-2)! = 4! / 2! = 4.3.2! / 2! = 4.3 = 12
2. Bila n = 5 dan r = 3, maka
5P3 = P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5.4.3.2! / 2! = 5.4.3 = 60
3. Bila n = 7 dan r = 7, maka
7P7 = P(7,7) = 7! / (7-7)! = 7! / 0! = 7! / 1 = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040
4. Bila diambil 1, r = 1, banyaknya susunan yang diperoleh adalah
3P1 = 3! / (3-1)! = 3! / 2! = 3 susunan.
5. Bila diambil 1, r = 1, banyaknya susunan yang diperoleh adalah
3P2 = 3! / (3-2)! = 3! / 1! = 3.2 = 6 susunan.
6. Bila diambil 1, r = 1, banyaknya susunan yang diperoleh adalah
3P3 = 3! / (3-3)! = 3! / 0! = 3.2.1 = 6 susunan.
TUGAS 3
1. Hitunglah permutasi dari susunan huruf yang terdiri dari a, b, c, d dan e
2. Dari 20 lotere, dua diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak titik sampel dalam ruang S
3. Seorang anak perempuan mempunyai 3 bunga yang jenisnya berlainan. Berapa banyak cara berbeda yang dapat dibuat?
4. Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana ekonomi dan 7 sarjana hukum. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjana hukum. Berapa banyak cara untuk membuat tim itu jika :
a. Tiap orang dapat dipilih dengan bebas
b. Seorang sarjana hukum harus ikut dalam tim itu
c. Dua orang sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim
5. Lima kartu diambil secara acak dari sekelompok kartu bridge lengkap. Tentukanlah :
a. Probabilitas terambilnya kartu AS
b. Probabilitas terambilnya 4 kartu AS dan 1 kartu King
c. Probabilitas terambilnya 3 kartu sepuluh dan 2 kartu Jack
d. Probabilitas terambilnya 1 kartu masing-masing dari kartu 9, kartu 10, kartu queen, kartu king dan 1 kartu jack
